A mecânica Newtoniana é insuficiente para calcular e projetar linhas aéreas de transmissão

jan, 2020

*por Geraldo Roberto de Almeida

 

RESUMO

Nos últimos 100 anos, temos usado a mecânica Newtoniana para calcular e projetar  linhas  aéreas  de  transmissão de energia elétrica. A maioria das linhas aéreas de transmissão no mundo foram projetadas em AC  (corrente  alternada) com  bundles de no máximo 4 condutores por fase. Linhas em  AC  geralmente  tem comprimento limitado em cerca 500 km por limitações da modalidade AC, mesmo que atualmente os FACTS (Flexible AC Transmission Systems) tenham aumentado em muito o comprimento destas linhas de transmissão. Para longos links em DC (corrente contínua), o cálculo e projeto mecânico são inteiramente análogos àqueles das linhas em AC, mas o comprimento é muito mais longo (cerca de 2000km) e os bundles chegam a seis ou mais condutores.   A análise parte desde os princípios da mecânica Newtoniana, na sua forma de equilíbrio de forças  e  momentos,  associada ao  conceito  de inércia, mostrando que o desempenho dos mate-riais e as configurações de estruturas são estudados sem que seja levado em conta o conceito  de  confiabilidade mecânica. Este  trabalho aborda o problema clássico de cálculo e projeto de um vão ancorado, com todas as restrições incluídas e analisa o aspecto de confiabilidade de condutores e estruturas para linhas clássicas de até 500km, deixando em evidência que a confiabilidade intrínseca (sem efeitos externos)  é rompida para linhas mais longas.

 

INTRODUÇÃO

Os fundamentos da mecânica estão concentrados nas três leis de Newton, formuladas a mais de 250 anos:

  • 1ª Lei – Um corpo em movimento retilíneo uniforme não pode alterar sozinho o seu estado de movimento.
  • 2ª Lei – A relação entre a massa de um corpo em movimento e a força que provoca este movimento é uma constante, denominada aceleração.
  • 3ª Lei – A toda ação (força) corresponde uma reação (força) de igual intensidade e sentido contrário.

Com toda ciência e tecnologia de hoje, estas três leis parecem argumentos lúdicos e até óbvios, mas na época em que foram formuladas geraram grande controvérsia. É preciso lembrar que se iniciava a fase iluminista da humanidade.

Em sua famosa obra “PRINCIPIA”, Newton teve que desenvolver uma matemática especial, o Cálculo Integral e Diferencial, onde usou os conceitos de limites para integração de áreas, enquanto Leibniz usou o conceito de diferenciação reversa. Ambos foram contemporâneos e trabalharam independentemente um do outro. Por isto esta parte da matemática é creditada aos dois.

Isaac Newton é considerado no meio científico a mente mais brilhante de todos os tempos. Com seu cálculo diferencial e integral, desenvolveu uma ferramenta que validou as leis da gravitação universal observadas por Kepler 100 anos antes. Com a mecânica Newtoniana, conseguimos fazer viagens espaciais, colocar satélites em órbita da terra, viajar à Lua e descobrir novos planetas.

Agora, no entanto, afirma-se no presente texto que esta mecânica  é insuficiente para dimensionar mecanicamente linhas de transmissão muito longas.

 

O ENSINO DA MECÂNICA E DA ENGENHARIA MECÂNICA

Quando se ensina mecânica (e engenharia mecânica) é mandatório o exordium com as três leis de Newton. Não conseguimos revogá-las  e as usamos quando queremos simplificar alguma coisa em termos de fenomenologia universal.

A mecânica Newtoniana é tão poderosa que fazemos tudo para continuar usando-a. O ensino da mecânica (e engenharia) começa com a Mecânica do Ponto Material. Todos que passaram por um curso de mecânica já ouviram de seus mestres essa assertiva. Por ser a mecânica do ponto material (Estática, Cinemática e Dinâmica) de fácil entendimento, nos cursos de Mecânica do Corpo Rígido, transformamos o corpo rígido (com dimensões volumétricas e peso) num centro de massa (centro de gravidade do corpo e seu peso inerente) e, com isso, conseguimos usar muitos conhecimentos da mecânica do ponto material. Quando não mais podemos usar o centro de gravidade e o peso, porque os corpos são deformáveis, usa-se a mecânica Newtoniana com algumas adaptações. As deformações admitidas são aquelas de pequenas entidades. Stephen Timoshenko foi o engenheiro mais brilhante no uso destas adaptações. Timoshenko [02] foi o grande inspirador da Mecânica do Meio Contínuo. Foi tanta sua  influência,  que  os  engenheiros  admitiam que a Mecânica do Contínuo poderia resolver todos os problemas da engenharia, desde que se pudesse resolver os problemas concernentes a não linearidade e turbulência inerentes ao meio.

Em 1967, a comunidade de engenharia foi surpreendida com Olgierd Cecil Zienkiewicz [03], que desenvolveu as bases do método de elementos finitos (MEF) com a discretização do meio contínuo em pequenos elementos e impondo a estes elementos, um funcional Lagrangeano.

Minimizado este funcional através de algum algoritmo, numa matriz de informação (Stiffness Matrix) a mecânica do meio contínuo consegue uma poderosa ferramenta para dimensionamento de grandes estruturas.

Quando os corpos entravam no limiar da transição de fase (fase plástica e fase elástica) a mecânica newtoniana era constrangida a levar em conta o comportamento dos materiais. Começavam a surgir as equações constitutivas dos materiais e a Mecânica do Meio Contínuo [04].

O limite da mecânica Newtoniana parece ser realmente as equações de Navier Stokes, um dos “7 Problemas do Milênio” do Instituto Clay.

Mesmo após todo o exposto, continuamos a dizer que a mecânica Newtoniana é insuficiente para cálculo e projeto de linhas aéreas de transmissão muito longas.

 

O PROJETO CLÁSSICO DE UM VÃO DE TRANSMISSÃO

No projeto clássico [05] de uma linha aérea de transmissão de energia elétrica, usando mecânica Newtoniana, modela-se a linha como um cabo suspenso por duas estruturas. Pelo cálculo variacional quando o único sistema de força atuando é o próprio peso do cabo, suspenso pelas extremidades, este se acomoda numa linha elástica denominada catenária.

Como trabalhar com a curva catenária no passado, quando toda engenharia era feita com régua de cálculo, implicava em muito trabalho, a curva catenária era aproximada por uma parábola. Isto era possível porque a linha elástica disposta em catenária tem geralmente uma flecha muito menor que o vão de suspensão (< 5% do comprimento do vão) e então aproximar uma catenária por parábola implicava num erro menor que 5%.

A figura a seguir ilustra de modo singelo como projetar um vão de transmissão com a mecânica Newtoniana.

Figura 1 – Grandezas envolvidas em um vão de uma LT.

O vão de transmissão é calculado considerando dois estados extremos: (1) Tracionado extremo, quando o cabo se encontra desligado, numa manhã muito fria e com vento extremo (ao norte do trópico de câncer, os engenheiros consideram também alguma camada de gelo sobre o cabo), e (2) Relaxado extremo, quando o cabo está com corrente máxima, num dia de verão muito quente e sem vento.

Na engenharia primitiva (há mais de 100 anos) estes estados poderiam ser considerados, “do lado da segurança” trazendo relativo conforto ao investidor ou construtor.

O estado mais tracionado é calculado com a equação;

f: Flecha do cabo

H: Esforço de tração longitudinal w Peso linear do cabo

a: Vão entre as estruturas

O estado menos tracionado dos cabos (flecha máxima) construído com as hipóteses já citadas, requer para o cálculo algumas informações dos materiais do cabo.

T1: Tração no estado (1)

T2: Tração no estado (2)

P1: Peso linear no estado (1) P2    Peso linear no estado (2) a Comprimento do vão

α: Coeficiente de dilatação linear

E: Módulo de elasticidade linear

S: Seção transversal

Figura 2 – Gráfico da Aluminum Association of América de cabo CAA.

Todos os demais estados intermediários do vão de transmissão também poderiam ser calculados com a mesma equação anterior, gerando uma tabela de estados comumente conhecida como tabela de vão e fechamento.

Tabela 1 – Tabela de Tensão e fechamento TíPica.

Nessa tabela pode ser apreciado como varia a força na cabeça  das estruturas em função da flecha e dos parâmetros dos materiais considerando uma abordagem de resistência dos materiais em  função da variável de estado termodinâmica “temperatura”.

A mecânica Newtoniana somente consegue “observar” os materiais no  capítulo  denominado  “Resistencia  dos  Materiais”.  No caso clássico de projeto de linhas aéreas de transmissão, esta observação e medição é feita através de dois ensaios: (1) Tensão e Deformação em cabo completo [06] e (2) Fluência mecânica em cabo completo [07] (ver figura 2).

A figura anterior ilustra os resultados dos dois ensaios acoplados no mesmo gráfico.

Este gráfico corresponde ao ensaio de um cabo ACSR (Aluminum Conductor Steel Reinforced) de formação 26/7, vinte e seis fios de alumínio em duas camadas e uma corda de 7 fios de aço (zincado    ou aluminizado). A maioria dos engenheiros de linhas aéreas de transmissão já viram alguma vez esta figura.

Na manhã fria e sem carga, o máximo esforço permitido no cabo ACSR poderia chegar ao “joelho” da curva final do cabo completo e final do aço. No dia quente, o que limitava a flecha era a distância de segurança entre os condutores e a vegetação. Nas duas situações (em especial na primeira), a garantia que os cabos suspensos funcionariam em equilíbrio autônomo era a existência da alma de aço no núcleo do cabo ACSR.

Todo critério EDS foi formulado em função de o máximo esforço coincidir com o uso do aço no seu limite máximo. Por isso os velhos engenheiros de transmissão diziam que “o que segura os cabos suspensos é a sua alma de aço”.

 

O LIMITE DOS MATERIAIS

Todos que militam nas engenharias já ouviram falar das limitações de desempenhos dos materiais [08]. No projeto e cálculo de uma linha aérea de transmissão de energia elétrica, também estas limitações estão presentes.

As limitações de desempenho dos materiais de cabos em vãos tracionados e suspensos são de duas entidades: (1) desempenho governado pelas propriedades intrínsecas dos materiais constituintes dos cabos (fluência mecânica), e (2) quanto tempo  os  materiais conjugados  (aço + alumínio) devem durar com solicitações mecânicas endógenas e exógenas?

A mecânica Newtoniana não está aparelhada para responder estas perguntas. A confiabilidade intrínseca pode ser respondida com algumas adaptações com a Mecânica Lagrangeana, sem considerar efeitos dissipativos nos materiais em desempenho sob tração e solicitações eólicas. Para estas últimas é necessário um aparelhamento muito mais avançado para avaliação de desempenho.

Mesmo a Mecânica Lagrangeana precisa de aparelhamento da termodinâmica para conseguir “observar” os processos dissipativos que acontecem num cabo suspenso quando este sai da “funcional catenária” e vai para qualquer funcional decorrente de vibrações eólicas (nós e anti nós de linha elástica com peso distribuído e tracionada somente são observáveis com modelos de cálculo variacional e mecânica estatística).

Todos estes aspectos ficam de dimensão muito maior se uma linha de transmissão for muito longa devendo percorrer uma distância onde a assinatura ambiental varia muito, como fenomenologia ao longo do caminho.

O critério EDS foi desenvolvido tendo como paradigma cabos ACSR que possuem aço na alma. Outros tipos de cabos, usando apenas ligas de alumínio estão ainda devendo a sustentação termodinâmica para o uso do mesmo EDS dos cabos ACSR. Os adeptos de uso de liga de alumínio com o mesmo EDS dos cabos ACSR têm explorado o mesmo critério, mas sem nenhuma sustentação termodinâmica.

A limitação do material pode ser manejada em dois aspectos: (1) Tempo médio para a primeira falha (mecânica) no condutor e (2) Tempo de vida para todo o material do condutor.

No primeiro caso, tempo médio não significa que o cabo suspenso e tracionado vai romper, mas significa que a função de risco para a primeira falha já é um (1). A implicação desta assertiva vai para o arrendamento da operação. Esse risco, se não for conhecido, não poderá fazer parte dos custos de operação. Se o risco ocorrer de fato e a linha cair, esse custo pode não está coberto pela RAP (Receita Anual Permitida nos leilões de transmissão).

O segundo caso é ainda pior. A concessão de transmissão no Brasil é feita na modalidade de arrendamento por 30 anos. Se nenhuma falha acontecer no arrendamento  e  o  sistema voltar para o arrendador, este voltará completamente depauperado. Por isso, no fim do arrendamento o arrendatário deveria recondutorar as linhas.

Em resumo, as limitações dos materiais usados como condutores de linhas de transmissão na modalidade de projeto atual e arrendadas por 30 anos trazem insegurança técnico-financeira para o investidor  e compromete o ativo do arrendador.

 

A CONFIABILIDADE INTRÍNSECA DOS MATERIAIS

O ensaio de tensão-deformação conjugado com o ensaio de fluência mecânica fornece uma maneira experimental de apreciar o funcional de um cabo suspenso e tracionado sem variáveis exógenas atuantes.

Figura 3 – Gráfico com destaque representando a energia elastoplástica.

O gráfico abaixo é o mesmo já visto anteriormente, apenas num formato da Aluminum Association of América (desde 1950). Nesse gráfico, está salientado uma área ocre como a energia elastoplástica ainda disponível depois de 10 anos tracionado. Observando toda energia elastoplástica, correspondente à área dentro da curva inicial composta (aço + alumínio), a curva final do aço e a fronteira do ensaio de tração e deformação (aproximadamente 0,45%), a área ocre é cerca da  metade da  área  total. Em  termos termodinâmicos  o significado é que em 10 anos o cabo tracionado (25% EDS) consome a metade de sua energia elastoplástica. Em outras palavras, o alumínio atinge seu tempo médio para primeira falha (MTTF) mecânica em 10 anos.

O resultado desta aproximação experimental, leva por dedução analítica,  que  existe  um   funcional   termodinâmico   extraível  dos ensaios, do tipo Função de Densidade de Probabilidade de WEIBULL.

Dentro do funcional de Weibull {τ0 ,t0 } é sempre uma característica do metal alumínio (ou outro qualquer, ensaiado da mesma forma), seja no ACSR ou nas ligas 1350, 6201 ou qualquer outra que tenha mais de 99% de alumínio na matriz. 10 anos de MTTF é uma propriedade do alumínio e isto não pode ser intuido ou derivado da mecânica Newtoniana, mas com alguma complacência pode ser deduzida com a mecânica Lagrangeana. Daí a primeira insuficiência da mecânica Newtoniana para calcular e projetar uma linha de transmissão.

Tabela 2 – Variáveis das diferentes configurações de condutores Para compor a equação 1.

A segunda insuficiência da mecânica Newtoniana para cálculo e projeto de uma linha de transmissão aérea, vem das causas exógenas (vento, temperatura e gelo). Essa insuficiência somente pode ser superada com análise funcional avançada e modelos dentro da mecânica estatística. Neste trabalho ficaremos apenas na confiabilidade com fatores endógenos.

 

Exemplo 1

Qual a probabilidade de sobrevivência, em um ano, para uma linha que usou 10.000 km de cabos alumínio liga endurecida?

A probabilidade de sobrevivência em um ano é 100% considerando apenas causas endógenas.

 

Exemplo 2

Qual o tempo médio para a primeira falha mecânica em um link de contínua de: (1) “L” km, (2) Dois polos e (3) Nb cabos no bundle. O cabo é um CA de 37 fios liga alumínio1350 (EDS 25%).

Tabela 3 – Influência do comprimento do cabo no MTTF.

Enquanto em linhas curtas o MTTF intrínseco (apenas o cabo suspenso, sem nenhuma contra ação do ambiente) nem comparece como variável de risco, em longos links o MTTF já comparece trazendo riscos mecânico e financeiro para operação.

Como no Brasil existe um grande número de links em corrente contínua construídas com alumínio EC 1350, paira a dúvida: este risco foi considerado no projeto?

 

ASSERTIVAS CIENTÍFICAS

A – De um lado está a Mecânica Newtoniana que maneja forças e momentos conseguindo descrever trajetórias em equilíbrio autônomo, mas não consegue alcançar os corpos em movimento com deformações. Do outro lado está a Mecânica dos Materiais, querendo usar a Mecânica Newtoniana estabecendo um contínuo no meio. Existe um gap entre ambas, sendo que a primeira não consegue observar a segunda e a segunda (cabos suspensos em funcionais estocásticos) está sem a memória da primeira.

B – O gap entre as duas abordagens tem sido enfrentado com auxílio da mecânica Lagrangeana e a discretização do contínuo. Esta abordagem amplamente desenvolvida impõem um funcional (Lagrangeano) para cada elemento e o minimiza. Quando estes funcionais são minimizados, o equilíbrio termodinâmico está garantido, mas ainda não se consegue manejar funcionais com variações dimensionais, como acontece num cabo suspenso submetido a fluência e vibração eólica.

 

ASSERTIVAS TÉCNICAS

C – O desacoplamento entre a engenharia de abordagem em mecânica Newtoniana e a engenharia dos materiais, no que concerne ao desempenho a longo tempo, impõe o uso de materiais de máximo desempenho mecânico como o aço, que sirva de garantia para mitigar o GAP entre as abordagens de engenharia.

D – O AÇO é o melhor material estrutural descoberto pelo homem a mais de 3000 anos atrás, seja em módulo de elasticidade, seja em tensão de ruptura, seja em fluência e fadiga cíclica. Ainda não foi descoberto na natureza ou desenvolvido na tecnologia (inclusive a nano tecnologia) algum material contra tipo que reunisse em si, todos os predicados do aço.

E – Há 100 anos para viabilizar o alumínio como condutor elétrico suspenso, os americanos colocaram um reforço de aço na alma dos cabos. Este reforço garantia o desempenho mecânico do cabo suspenso e o alumínio garantia a condução elétrica.

F – A retirada do aço da alma dos condutores de alumínio, deixa todo desempenho elétrico e mecânico para o alumínio.

G – O AÇO pode trabalhar com EDS de até 33% (por breve duração ou longo – a ser testado) conforme foi mostrado no joelho da curva tensão deformação. Nesta mesma condição, o aço tem sido usado com EDS de até 25% (da carga de ruptura) porque nesta condição o stress está na condição relaxada sob o domínio do aço. Como pode o alumínio (todas as ligas) trabalhar como mesmo EDS (25% da carga de ruptura)? Se o desempenho mecânico das ligas de alumínio é inferior ao do aço em várias solicitações (por exemplo fluência e fadiga cíclica)?

 

ASSERTIVAS EM NEGÓCIOS

Com a mecânica Newtoniana sendo insuficiente para calcular e projetar linhas de transmissão longas, como avaliar os riscos envolvidos e quem pagará os prêmios de seguros decorrentes dos riscos? Se o decaimento da carga de ruptura dos cabos implica em aumento dos custos de operação das linhas (aumento em potencial, mas se realizados serão falhas). Estão estes custos cobertos pela RAP? Se não estão quem pagaria a indisponibilidade das linhas?

Quando a arrendatário devolver a linha ao arrendador, o primeiro reatualizará os ativos (recondutorará a linha)?

“Todo o texto, conhecimentos, modelos, heurísticas e opiniões são de responsabilidade do autor; que está a disposição para discutí-los em sede acadêmica ou de negócios”.

 


 

*Geraldo Roberto de Almeida é graduado em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Juiz de Fora (1971), mestrado em Engenharia Elétrica pela Universidade de São Paulo (2005) e doutorado em Engenharia Elétrica pela Universidade de São Paulo (2011). Atualmente, é sócio diretor – TAG INOVACAO TECNOLOGICA LTDA e diretor – TECHSYS TECNOLOGIA E SISTEMAS, consultor do GRUPO INTELLI, engen-heiro especialista em Engenharia e Tecnologia de cabos elétricos. Tem experiência na área de Engen-haria de Materiais e Metalúrgica, com ênfase em Materiais Não-Metálicos, atuando principalmente nos seguintes temas: alta tensão, confiabilidade, linhas de transmissão, cabos nus e cabos isolados de alta tensão.

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